deep_learning_5.过拟合-权重衰减法

出现过拟合的现象，是数据集的大小不能够支撑现有的模型。除了收集更多的数据外（大多数情况耗时短期内不可能做到），可以引入正则化来处理过拟合的问题。

正则化

正则化一般分为两种，一种是L1范数，一种是L2范数。L2正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法， L1正则化线性回归是统计学中类似的基本模型，通常被称为套索回归（lasso regression）。

为什么我们首先使用L2范数，而不是L1范数？

使用L2范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。相比之下，L1惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上，而将其他权重清除为零。这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。

L2正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式：

我们根据估计值与观测值之间的差异来更新w。

然而，我们同时也在试图将w的大小缩小到零。这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。较小的λ值对应较少约束的w，而较大的λ值对w的约束更大。

代码实现

下面将从头开始实现权重衰减，只需将L2的平方惩罚添加到原始目标函数中。

1. 初始化模型参数

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

2.定义L2范数惩罚

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

1 2	`def l2_penalty(w): return torch.sum(w.pow(2)) / 2`

3.定义训练代码实现

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

4.忽略正则化直接训练

我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少，这意味着出现了严重的过拟合。

1 2	`train(lambd=0) w的L2范数： 13.860143661499023`

5.使用权重衰减

下面，我们使用权重衰减来运行代码。注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。这正是我们期望从正则化中得到的效果。

1 2	`train(lambd=3) w的L2范数： 0.490328311920166`

简洁实现

在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数b不会衰减。

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())